Sharp Uncertainty Principle inequality for solenoidal fields

This paper solves the L2 version of Maz'ya's open problem [1, Section 3.9] on sharp uncertainty principle inequality?RN|?u|2dx?RN|u|2|x|2dx?CN(?RN|u|2dx)2 for solenoidal (namely divergence-free) vector fields u=u(x) RN. The best value constant N?3 turns out to be CN=14(N2?4(N?3)+2)2 which exceeds original N2/4 unconstrained fields. Moreover, we show attainability CN and specify profiles extremal fields: N?4, extremals are proportional a poloidal field that is axisymmetric unique up axis symmetry; N=3, there exist toroidal fields, in addition fields; N=2, all toroidal. Cet article résout la du problème ouvert de Maz'ya sur l'inégalité principe d'incertitude?RN|?u|2dx?RN|u|2|x|2dx?CN(?RN|u|2dx)2 pour les champs vecteurs solénoïdaux (cést-à-dire non divergents) La meilleure valeur constante s'avère être qui dépasse originale contraints. De plus, nous montrons l'atteignabilité et spécifions profils des extrémaux : sont proportionnels à un champ poloïdal axisymétrique jusqu'à l'axe symétrie ; il existe toroïdaux extrémaux, en plus poloïdaux tous toroïdaux.